À première vue, cette énigme semble très simple : une partie d’arbre de 8 cm tombe en direction d’un garçon situé à 9 cm du pied du tronc. Pourtant, comparer simplement 8 et 9 ne suffit pas. La clé se trouve dans le théorème de Pythagore.
Les informations données par l’image
Le dessin nous fournit trois mesures importantes :
– la partie du tronc encore verticale mesure 4 cm ;
– la partie qui bascule mesure 8 cm ;
– le garçon se trouve à 9 cm horizontalement du pied de l’arbre.
La partie de 8 cm ne tombe donc pas depuis le sol. Son point de rotation se situe à 4 cm de hauteur.
Pourquoi utiliser le théorème de Pythagore ?
Lorsque l’extrémité de la partie de 8 cm atteint le sol, on peut représenter la situation par un triangle rectangle.
La partie tombée de l’arbre constitue l’hypoténuse de 8 cm, tandis que la hauteur du point de rupture représente un côté de 4 cm.
Appelons x la distance horizontale entre le pied de l’arbre et l’endroit où son extrémité touche le sol.
D’après le théorème de Pythagore :
x² + 4² = 8²
Donc :
x² = 64 – 16
x² = 48
et :
x = √48 ≈ 6,93 cm
L’arbre atteint-il le garçon ?
D’après ce calcul, l’extrémité de la partie qui tombe atteint le sol à environ 6,93 cm du pied de l’arbre.
Le garçon est indiqué à 9 cm.
La différence est donc :
9 – 6,93 = 2,07 cm
Dans le modèle géométrique présenté par l’énigme, l’extrémité de l’arbre s’arrête donc environ 2,07 cm avant la position indiquée du garçon.
L’erreur que beaucoup peuvent faire
On pourrait être tenté de raisonner ainsi :
« L’arbre mesure 8 cm et le garçon est à 9 cm, il ne sera donc dépassé que d’un centimètre. »
Ce raisonnement oublie cependant un élément essentiel : le morceau de 8 cm pivote depuis un point situé 4 cm au-dessus du sol.
Une partie de sa longueur correspond donc à la composante verticale de la diagonale. Sa portée horizontale lorsqu’il atteint le sol n’est pas de 8 cm, mais d’environ 6,93 cm.
Alors, le garçon survivra-t-il ?
Selon les mesures et le modèle géométrique du dessin, la partie de l’arbre représentée n’atteint pas la position du garçon.